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Disjunctive Normal Form (DNF) Converter
Escribe una fórmula, pulsa Calculate DNF y obtén su forma normal disyuntiva paso a paso: eliminación de conectores, leyes de De Morgan, doble negación, propiedad distributiva y simplificación.
DNF Converter
Click the buttons if you don't know how to type the symbols¿Qué es la forma normal disyuntiva?
La forma normal disyuntiva (FND) es una manera estándar de escribir una fórmula de lógica proposicional. Una fórmula está en FND cuando es una disyunción de términos (también llamados implicantes), y cada término es una conjunción de literales. Un literal es una variable (P) o su negación (¬P).
En otras palabras, básicamente la FND es una gran «O» (∨) de varios bloques, y dentro de cada bloque solo hay «Y» (∧) y negaciones pegadas a las letras. Por ejemplo, (P ∧ ¬Q) ∨ (R ∧ Q ∧ ¬S) está en forma normal disyuntiva. Es exactamente la estructura «al revés» de la FNC.
How to convert a formula to DNF in 5 steps
Toda fórmula proposicional tiene una equivalente en forma normal disyuntiva. El método clásico tiene cuatro pasos (más uno opcional), que son exactamente los que aplica la calculadora. Los tres primeros son idénticos a los de la FNC; la diferencia está en el paso 4.
Step 1 · Eliminate connectors other than ∧ and ∨
Sustituimos los conectores de la fórmula original por uniones (∨) y conjunciones (∧). Para la FND elegimos las equivalencias que ya dejan disyunciones por fuera siempre que es posible:
| Formula | Equivalent |
|---|---|
| A → B | ¬A ∨ B |
| A ↔ B | (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) |
| A ⊕ B | (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) |
| A | B (NAND) | ¬(A ∧ B) |
| A ↓ B (NOR) | ¬(A ∨ B) |
Step 2 · Push negations inward to the atoms (De Morgan's Laws)
If after the previous step there is any negation (¬) in front of a parenthesis, we "push" it inside using De Morgan's laws, until each negation affects only a single variable:
| Formula | Equivalent |
|---|---|
| ¬(A ∧ B) | ¬A ∨ ¬B |
| ¬(A ∨ B) | ¬A ∧ ¬B |
Step 3 · Eliminate double negations
Whenever a double negation appears, we simplify it using ¬¬A ≡ A. After completing steps 2 and 3, the formula only contains ∧, ∨, and negations attached directly to the variables; this intermediate state is called negation normal form (NNF), and it is the starting point for the final step.
Paso 4 · Aplicar la propiedad distributiva (∧ sobre ∨)
Aquí está la diferencia clave con la FNC. Ahora distribuimos la conjunción sobre la disyunción tantas veces como haga falta, hasta que las disyunciones queden por fuera y las conjunciones por dentro:
| Formula | Equivalent |
|---|---|
| A ∧ (B ∨ C) | (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) |
| (A ∨ B) ∧ C | (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) |
Step 5 (optional) · Simplify the resulting formula
Una vez en FND, a veces podemos simplificarla sin alterar su significado lógico. Las simplificaciones habituales son:
| Situation | What to do |
|---|---|
| Términos repetidos, por ejemplo: (q ∧ s ∧ ¬r) ∨ (s ∧ ¬r ∧ q) ∨ (s ∧ ¬r) | Dejar solo uno de los iguales: (q ∧ s ∧ ¬r) ∨ (s ∧ ¬r) |
| Un término contiene una variable negada y sin negar, por ejemplo: (¬q ∧ q ∧ ¬r ∧ s) | Ese término siempre es falso (contradicción): se elimina entero |
| Literales repetidos dentro de un término, por ejemplo: (p ∧ p ∧ q) | Dejar uno solo: (p ∧ q) |
Fíjate en el contraste con la FNC: en la FNC una cláusula con q and ¬q es una tautología (siempre verdadera) y se elimina; en la FND un término con q and ¬q es una contradicción (siempre falsa) y también se elimina, pero por la razón opuesta.
For example, the formula:
(¬q ∧ q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (q ∧ s ∧ ¬r) ∨ (s ∧ ¬r ∧ q) ∨ (s ∧ q)
se simplifica eliminando el primer término (es una contradicción por contener q and ¬q) y uno de los dos términos idénticos, quedando simplemente:
(q ∧ s ∧ ¬r) ∨ (s ∧ q)
Ejemplo resuelto paso a paso
Pasemos a FND la fórmula (P ∧ ¬Q) ↔ R. Este ejemplo usa los cuatro pasos.
- Paso 1 — Eliminar la doble implicación. Con
A ↔ B ≡ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B), tomandoA = (P ∧ ¬Q)andB = R:
((P ∧ ¬Q) ∧ R) ∨ (¬(P ∧ ¬Q) ∧ ¬R) - Paso 2 — Leyes de De Morgan. Empujamos la negación de
¬(P ∧ ¬Q)con¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B:
((P ∧ ¬Q) ∧ R) ∨ ((¬P ∨ ¬¬Q) ∧ ¬R) - Paso 3 — Doble negación.
¬¬Q ≡ Q, de manera que la fórmula quedaría tal que así:
((P ∧ ¬Q) ∧ R) ∨ ((¬P ∨ Q) ∧ ¬R) - Paso 4 — Propiedad distributiva. El primer término ya es una conjunción; en el segundo,
(¬P ∨ Q) ∧ ¬R ≡ (¬P ∧ ¬R) ∨ (Q ∧ ¬R):
(P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ ¬R) ∨ (Q ∧ ¬R)
Resultado (FND): (P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ ¬R) ∨ (Q ∧ ¬R). En este caso no hay nada que simplificar, ya que ningún término es una contradicción ni se repite, y por tanto omitimos el paso 5. Puedes comprobar la solución de este ejemplo escribiéndolo en la calculadora.
Frequently Asked Questions (FAQs)
¿Para qué sirve la forma normal disyuntiva (FND)?
La FND es muy útil para razonar sobre cuándo una fórmula es verdadera: cada término de la disyunción describe directamente una combinación de valores que la hace cierta (un implicante). Se usa al construir circuitos como suma de productos (minterms), para comprobar satisfacibilidad de forma directa (basta con que un término no sea contradictorio) y como representación a partir de la tabla de verdad.
¿En qué se diferencia la FND de la FNC?
En la FND el operador de fuera es la disyunción (∨ de ∧): una «O» de varios «Y». En la forma normal conjuntiva (FNC) es al revés: una conjunción de disyunciones (∧ de ∨). En la FND se distribuye ∧ sobre ∨; en la FNC, ∨ sobre ∧.
Can I use more than four variables?
Yes. The buttons display P, Q, R, S, and T, but you can type any letter (A, B, C, x, y, z...) or names like p1, p2 directly into the input field.
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