Calculadora de tablas de verdad online

¿Qué es una tabla de verdad?

Una tabla de verdad es una tabla que recoge el valor de verdad (verdadero o falso) de una fórmula de lógica proposicional para todas las combinaciones posibles de sus variables. Si la fórmula tiene n variables distintas, hay 2ⁿ combinaciones, es decir, 2ⁿ filas.

La idea es ir construyéndola por columnas: primero una columna por cada átomo (cada variable suelta, como P, Q, R), y después una columna nueva por cada subfórmula, empezando por las más internas y combinándolas hasta llegar a la conectiva principal, que es la que determina el valor de toda la fórmula.

Con la última columna ya sabemos qué tipo de fórmula es: una tautología (siempre verdadera), una contradicción (siempre falsa) o una contingencia (verdadera en unos casos y falsa en otros).

Tablas de verdad de los conectores básicos

Estas son las tablas «atómicas» que usarás para rellenar cualquier columna. Toda fórmula, por compleja que sea, se reduce a aplicar estas reglas una y otra vez. (V = verdadero, F = falso).

Cómo construir una tabla de verdad paso a paso

El método es siempre el mismo, sin importar cuántos conectores tenga la fórmula:

Paso 1 · Identifica las variables

Localiza los átomos distintos (por ejemplo P, Q, R). Cada uno será una columna a la izquierda de la tabla.

Paso 2 · Calcula el número de filas

Con n variables hay 2ⁿ filas. Con 2 variables → 4 filas; con 3 → 8; con 4 → 16, etc.

Paso 3 · Rellena las combinaciones

Escribe todas las combinaciones de V y F. La convención más habitual (y la que usa esta calculadora) es: la variable de más a la izquierda cambia más despacio y se empieza por todo V arriba. Así no te dejas ninguna combinación.

Paso 4 · Añadimos una columna por cada subfórmula

La fórmula entera no se calcula de golpe: la vamos montando por trozos, y cada trozo (cada subfórmula) tiene su propia columna, que sacamos a partir de las columnas que ya tenemos a su izquierda. Para saber en qué orden van esos trozos seguimos la misma idea que el orden de operaciones de matemáticas.

¿Quién va primero? Lo deciden los paréntesis; y si no hay, la fuerza de cada conector.

1) Si la fórmula lleva paréntesis escritos, mandan los paréntesis. Lo de dentro se resuelve antes y vamos hacia afuera. En ¬(P ∨ (Q ∧ R)) los trozos (y por tanto las columnas) saldrían en este orden:

1. Q ∧ R → el paréntesis más interno; el primer trozo.
2. P ∨ (Q ∧ R) → juntamos ese grupo con la P que lleva al lado.
3. ¬(P ∨ (Q ∧ R)) → la fórmula completa, aplicando la negación a todo.

2) Si la fórmula no lleva paréntesis, los colocamos nosotros mentalmente según la fuerza de cada conector: el más fuerte se asocia antes con lo que tiene al lado y forma el grupo más pequeño. De más fuerte a más débil sería tal que así:

Por ejemplo, en ¬P ∨ Q ∧ R no hemos escrito ningún paréntesis, pero la fuerza de los conectores ya nos dice cómo se asocia todo. Como ∧ es más fuerte que ∨, lo primero que se junta es Q ∧ R; la negación va pegada a su variable, así que tenemos ¬P; y lo último en unirse es el ∨, que junta ¬P con el grupo Q ∧ R. Así, sin haber escrito ni un paréntesis, ya sabemos qué resolver primero: empezamos por Q ∧ R, después ¬P, y al final lo unimos todo con el ∨. Ese ∨ de fuera del todo es la conectiva principal.

Paso 5 · Evaluamos columna a columna

Rellenamos cada columna usando las tablas de los conectores básicos de arriba, hasta llegar a la conectiva principal (la última columna).

Paso 6 · Leemos el resultado

Miramos la última columna: si es todo V, es una tautología; si es todo F, una contradicción; y si hay de los dos, una contingencia (es satisfacible pero no válida).

Ejemplo resuelto paso a paso

Vamos a construir la tabla de verdad de (P → Q) ⊕ R ∧ ¬Q siguiendo los seis pasos. Fíjate en que esta fórmula mezcla varias de las cosas que hemos explicado antes.

Paso 1 · Identificamos las variables. Buscamos las letras distintas que aparecen en la fórmula: P, Q y R. Son 3 variables, y cada una será una columna a la izquierda de la tabla.

Paso 2 · Calculamos el número de filas. Con 3 variables hay 2³ = 8 combinaciones posibles de V y F, así que la tabla tendrá 8 filas.

Paso 3 · Rellenamos las combinaciones. Escribimos las 8 combinaciones de V y F empezando por todo V arriba, de forma que cada columna cambie más despacio que la de su derecha. De esta manera, quedarían tal que así:

Paso 4 · Decidimos las columnas (de dentro hacia fuera). Aquí aplicamos la precedencia. El trozo (P → Q) ya viene agrupado por sus paréntesis. El trozo R ∧ ¬Q no lleva paréntesis, pero la fuerza de los conectores nos dice cómo se agrupa: como ¬ es lo más fuerte, primero tenemos ¬Q; y como ∧ es más fuerte que ⊕, la R se junta con ¬Q formando R ∧ ¬Q. Lo último en unirse es el ⊕, que combina los dos bloques: esa es la conectiva principal. Es decir, aunque esté escrito sin esos paréntesis, la fórmula se comporta como (P → Q) ⊕ (R ∧ ¬Q). Así que las columnas, de la más interna a la principal, son:

1. P → Q → el trozo de la izquierda, ya cerrado por sus paréntesis.
2. ¬Q → la negación de Q.
3. R ∧ ¬Q → juntamos R con la columna ¬Q.
4. (P → Q) ⊕ (R ∧ ¬Q) → la fórmula completa: une las columnas 1 y 3 con el ⊕.

Paso 5 · Evaluamos columna a columna. Rellenamos cada columna nueva usando las tablas de los conectores básicos y mirando columnas que ya tenemos hechas a la izquierda:

• P → Q: es F solo cuando P = V y Q = F; en el resto de casos, V.
• ¬Q: invertimos la columna de Q (donde había V ponemos F y al revés).
• R ∧ ¬Q: es V solo cuando R = V y ¬Q = V a la vez.
• (P → Q) ⊕ (R ∧ ¬Q): el ⊕ da V cuando las dos columnas anteriores tienen distinto valor, y F cuando son iguales.

Con eso, la tabla completa queda así:

Paso 6 · Leemos el resultado. Miramos la última columna (el ⊕, la conectiva principal): tiene V y F mezclados, así que la fórmula es una contingencia. En concreto, es verdadera en 6 de los 8 casos. Puedes comprobarlo escribiéndola tal cual, (P → Q) ⊕ R ∧ ¬Q, en la calculadora de arriba.

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