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Calculadora de Forma Normal Conjuntiva (FNC) online
Escribe una fórmula, pulsa Calcular FNC y obtén su forma normal conjuntiva paso a paso: eliminación de conectores, leyes de De Morgan, doble negación, propiedad distributiva y simplificación.
Calculadora FNC
Pulsa los botones si no sabes teclear los símbolos¿Qué es la forma normal conjuntiva?
La forma normal conjuntiva (FNC) es una manera estándar de escribir una fórmula de lógica proposicional. Una fórmula está en FNC cuando es una conjunción de cláusulas, y cada cláusula es una disyunción de literales. Un literal es una variable (P) o su negación (¬P).
En otras palabras, básicamente la FNC es una gran «Y» (∧) de varios bloques, y dentro de cada bloque solo hay «O» (∨) y negaciones pegadas a las letras. Por ejemplo, (P ∨ ¬Q) ∧ (R ∨ Q ∨ ¬S) está en forma normal conjuntiva.
Cómo pasar una fórmula a FNC en 5 pasos
Toda fórmula proposicional tiene una equivalente en forma normal conjuntiva. El método clásico tiene cuatro pasos más uno de simplificación, y la calculadora los aplica todos. La única diferencia es que la simplificación no la deja para el final: la va haciendo sobre la marcha (te lo explicamos en el paso 5).
Paso 1 · Eliminar los conectores que no sean ∧ y ∨
Sustituimos los conectores de la fórmula original por uniones (∨) y conjunciones (∧), basándonos en las equivalencias de la tabla:
| Fórmula | Equivalente |
|---|---|
| A → B | ¬A ∨ B |
| A ↔ B | (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B) |
| A ⊕ B | (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) |
| A | B (NAND) | ¬(A ∧ B) |
| A ↓ B (NOR) | ¬(A ∨ B) |
Paso 2 · Llevar las negaciones hasta los átomos (Leyes De Morgan)
Si tras el paso anterior queda alguna negación (¬) delante de un paréntesis, la «metemos» hacia dentro con las leyes de De Morgan, hasta que cada negación afecte solo a una variable suelta:
| Fórmula | Equivalente |
|---|---|
| ¬(A ∧ B) | ¬A ∨ ¬B |
| ¬(A ∨ B) | ¬A ∧ ¬B |
Paso 3 · Eliminar las dobles negaciones
Cada vez que aparezca una doble negación la simplificamos con ¬¬A ≡ A. Al terminar los pasos 2 y 3, la fórmula solo tiene ∧, ∨ y negaciones pegadas a las variables; a esa forma intermedia se la llama forma normal negativa (NNF), y es el punto de partida del último paso.
Paso 4 · Aplicar la propiedad distributiva
Por último distribuimos la disyunción sobre la conjunción tantas veces como haga falta, hasta que las conjunciones queden por fuera y las disyunciones por dentro:
| Fórmula | Equivalente |
|---|---|
| A ∨ (B ∧ C) | (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) |
| (A ∧ B) ∨ C | (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) |
Paso 5 · Simplificar (al final o sobre la marcha)
Simplificar no cambia el significado lógico de la fórmula, solo la acorta. Puedes hacerlo una sola vez al final, cuando ya tienes la FNC, o en cada iteración: antes de distribuir y después de cada distributiva. Las dos formas llevan a una FNC equivalente, pero la segunda ahorra mucho trabajo: si aparece algo como q ∨ ¬q, lo cambias por 1 en ese momento y no lo arrastras por todas las distributivas siguientes. La calculadora simplifica en cada iteración, y al final repasa las cláusulas por si quedara algo.
Las leyes que se usan son el complementario (A ∨ ¬A ≡ 1, A ∧ ¬A ≡ 0), la acotación (A ∨ 1 ≡ 1, A ∧ 0 ≡ 0), la identidad (A ∨ 0 ≡ A, A ∧ 1 ≡ A), la idempotencia (A ∨ A ≡ A) y la absorción (A ∨ (A ∧ B) ≡ A). Si simplificas solo al final, sobre la FNC ya terminada, se traducen en estos casos:
| Situación | Qué hacer |
|---|---|
| Cláusulas repetidas, por ejemplo: (q ∨ s ∨ ¬r) ∧ (s ∨ ¬r ∨ q) ∧ (s ∨ ¬r) | Dejar solo una de las dos: (q ∨ s ∨ ¬r) ∧ (s ∨ ¬r) |
| Una cláusula contiene una variable negada y sin negar, por ejemplo: (¬q ∨ q ∨ ¬r ∨ s) | Esa cláusula siempre es verdadera (tautología): se elimina entera |
| Literales repetidos dentro de una cláusula, por ejemplo: (p ∨ p ∨ q) | Dejar uno solo: (p ∨ q) |
| Una cláusula contiene a otra, por ejemplo: (s ∨ ¬r) ∧ (q ∨ s ∨ ¬r) | Absorción: sobra la más larga, queda (s ∨ ¬r) |
Por ejemplo, la fórmula:
(¬q ∨ q ∨ ¬r ∨ s) ∧ (q ∨ s ∨ ¬r) ∧ (s ∨ ¬r ∨ q) ∧ (s ∨ q)
se simplifica eliminando la primera cláusula (es una tautología por contener q y ¬q) y una de las dos cláusulas idénticas, quedando simplemente:
(q ∨ s ∨ ¬r) ∧ (s ∨ q)
Ejemplo resuelto paso a paso
Pasemos a FNC la fórmula (P ∨ ¬Q) ↔ R. Este ejemplo usa los cuatro pasos.
- Paso 1 — Eliminar el bicondicional. Con
A ↔ B ≡ (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A)(es decir,(A→B) ∧ (B→A)), tomandoA = (P ∨ ¬Q)yB = R:
(¬(P ∨ ¬Q) ∨ R) ∧ (¬R ∨ (P ∨ ¬Q)) - Paso 2 — Leyes de Morgan. Empujamos la negación de
¬(P ∨ ¬Q)con¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B, conservando los paréntesis que agrupan ese bloque:
((¬P ∧ ¬¬Q) ∨ R) ∧ (¬R ∨ (P ∨ ¬Q)) - Paso 3 — Doble negación.
¬¬Q ≡ Q, de manera que la fórmula quedaría tal que así:
((¬P ∧ Q) ∨ R) ∧ (¬R ∨ (P ∨ ¬Q)) - Paso 4 — Propiedad distributiva. En el primer bloque,
(¬P ∧ Q) ∨ R ≡ (¬P ∨ R) ∧ (Q ∨ R); el segundo bloque ya es una disyunción:
(¬P ∨ R) ∧ (Q ∨ R) ∧ (¬R ∨ (P ∨ ¬Q))
y aplanando los∨anidados por asociatividad:
(¬P ∨ R) ∧ (Q ∨ R) ∧ (¬R ∨ P ∨ ¬Q)
Resultado (FNC): (¬P ∨ R) ∧ (Q ∨ R) ∧ (P ∨ ¬Q ∨ ¬R). En este caso no hay nada que simplificar, ya que ninguna cláusula es tautología ni se repite, y por tanto omitimos el paso 5. Puedes comprobar la solución de este ejemplo escribiéndolo en la calculadora.
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Preguntas frecuentes
¿Para qué sirve la forma normal conjuntiva (FNC)?
La FNC se usa principalmente para la resolución de cláusulas, donde cada disyunción pasa a ser una cláusula, permitiendo comprobar satisfacibilidad, validez o insatisfacibilidad por refutación mediante el método de refutación de Robinson. También es un paso intermedio en la skolemización (vía FNC prenexa) y aparece en áreas como el diseño de circuitos digitales.
¿En qué se diferencia la FNC de la FND?
En la FNC el operador de fuera es la conjunción (∧ de ∨). En la forma normal disyuntiva (FND) es al revés: una disyunción de conjunciones (∨ de ∧).
¿Puedo usar más de cuatro variables?
Sí. Los botones muestran P, Q, R, S y T, pero puedes teclear cualquier letra (A, B, C, x, y, z…) o nombres como p1, p2 directamente en el campo.