Calculadora de reglas de inferencia online

¿Qué son las reglas de inferencia?

Una regla de inferencia es un paso que siempre puedes dar sin miedo a equivocarte. Si las fórmulas de las que partes son verdaderas, la que obtienes también lo es. Nada más. Encadenando pasos de estos se construye una demostración.

Un argumento tiene dos partes: las premisas (o hipótesis), que damos por buenas, y la conclusión, que queremos justificar. Se suele escribir con el símbolo ⊢:

P → Q,  Q → R,  P  ⊢  R

El argumento es válido cuando es imposible que las premisas sean todas verdaderas y la conclusión falsa. Ojo: válido no significa «verdadero». Un argumento puede ser impecable partiendo de premisas falsas; lo que comprobamos aquí es el razonamiento, no los datos.

Las reglas de inferencia, una a una

Estas siete son las que se usan en prácticamente cualquier ejercicio. En el esquema, lo de arriba de la raya son las premisas y lo de abajo (tras el ∴, «por tanto») lo que puedes deducir:

Las equivalencias que hacen falta por el camino

Además de las reglas de arriba, hay reescrituras que no deducen nada nuevo: dicen lo mismo de otra forma. La calculadora las aplica sola cuando hacen falta, y te las marca en la demostración:

• Ley de la implicación: P → Q equivale a ¬P ∨ Q. Leída al revés, una disyunción P ∨ Q es lo mismo que ¬P → Q, y eso permite meter un «o» dentro de una cadena de silogismos.
• Contraposición: P → Q equivale a ¬Q → ¬P.
• Leyes de De Morgan: ¬(P ∧ Q) equivale a ¬P ∨ ¬Q, y ¬(P ∨ Q) equivale a ¬P ∧ ¬Q.
• Doble negación: ¬¬P es lo mismo que P.
• Idempotencia: P ∨ P equivale a P, y P ∧ P también. Aparece más de lo que parece: si llegas a P → ¬P, por la ley de la implicación eso es ¬P ∨ ¬P, es decir, ¬P. Si algo te lleva a su propia negación, es que es falso.
• Negación de la implicación: ¬(P → Q) equivale a P ∧ ¬Q.
• Distributividad de la implicación: son cuatro, y conviene tenerlas a mano porque desbloquean media asignatura.
  • (P ∨ Q) → R equivale a (P → R) ∧ (Q → R)
  • P → (Q ∧ R) equivale a (P → Q) ∧ (P → R)
  • P → (Q ∨ R) equivale a (P → Q) ∨ (P → R)
  • (P ∧ Q) → R equivale a (P → R) ∨ (Q → R)
  Fíjate en el patrón: cuando repartes, el conector del consecuente se mantiene y el del antecedente se da la vuelta. Sirven en los dos sentidos: para partir una premisa larga en trozos manejables, y para montar la conclusión al final.
• Definición del bicondicional: P ↔ Q equivale a (P → Q) ∧ (Q → P).
• Disyunción exclusiva: P ⊕ Q equivale a (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q).

Dos que se echan mucho en falta: De Morgan, porque en cuanto un modus tollens te deja algo como ¬(P ∨ Q) necesitas convertirlo en ¬P ∧ ¬Q para poder seguir; y la ley de la implicación, que es la que te deja usar una disyunción suelta como si fuera una implicación. Por ejemplo, de P → ¬Q y Q ∨ R sale P → R: basta leer Q ∨ R como ¬Q → R y encadenar un silogismo hipotético.

Cómo resolver un ejercicio paso a paso

No hay que adivinar nada: con este orden salen casi todos.

Paso 1 · Identificar las premisas y la conclusión

Separa lo que te dan de lo que tienes que justificar. Si el enunciado te da una sola fórmula A → B, la parte izquierda son las premisas y la derecha la conclusión.

Paso 2 · Desmontar las premisas

Antes de combinar nada, deja las premisas lo más simples posible: parte las conjunciones por simplificación, desarrolla los bicondicionales y aplica De Morgan donde haya una negación por fuera de un paréntesis. Cuantas más fórmulas sueltas tengas, más fácil es que encaje una regla.

Paso 3 · Encadenar reglas hacia delante

Busca parejas que encajen en alguna regla y ve escribiendo líneas nuevas, numeradas y con el nombre de la regla al lado. Lo habitual es empezar por los modus ponens (tienes el antecedente de una implicación), seguir con los modus tollens (tienes negado el consecuente) y rematar con los silogismos disyuntivos cuando te quede una disyunción y la negación de uno de sus lados.

Paso 4 · Montar la conclusión

Mira a qué tienes que llegar. Si la conclusión es una conjunción como S ∧ Q, no la busques entera: consigue S por un lado y Q por otro y únelas con la regla de conjunción. Y si es una disyunción como Q ∨ Z, te basta con obtener uno de los dos lados y añadir el otro por adición.

Paso 5 · Si no sale, dudar del argumento

Si te has quedado sin combinaciones posibles, puede que el argumento sencillamente no sea válido. Para comprobarlo busca un contraejemplo: una asignación de verdadero y falso a cada variable que haga verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión. Si la encuentras, se acabó: no hay demostración posible, por mucho que insistas. La calculadora hace esta comprobación siempre, y cuando el argumento no es válido te enseña el contraejemplo con cada premisa sustituida y evaluada, para que veas exactamente dónde se rompe.

Ejemplo resuelto paso a paso

¿Y si el argumento es válido pero no consigo demostrarlo?

Pasa, y no siempre es culpa tuya. Estas reglas van hacia delante: combinan lo que ya tienes. Hay argumentos válidos que necesitan otro tipo de movimiento, sobre todo dos: suponer el antecedente (para demostrar A → B se da por bueno A, se llega a B y se cierra la suposición) y razonar por casos (si sabes P ∨ Q, mirar qué pasa suponiendo P y qué pasa suponiendo Q). Un ejemplo sencillo que no sale solo con la tabla: (P ∧ Q) → R ⊢ P → (Q → R). Ojo, que esto es más raro de lo que parece: casi todas las conclusiones con forma A → B salen sin suponer nada, tirando de contraposición, de la ley de la implicación o de las cuatro distributividades de arriba, y todo eso la calculadora lo hace sola.

Cuando la calculadora se encuentra en esa situación te lo dice tal cual, en vez de decirte que es falso: te enseña hasta dónde ha llegado con las reglas, comprueba la validez por su cuenta evaluando todos los casos posibles y te avisa de que el argumento sí es válido aunque no haya encontrado la demostración.

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